19．ぽこりんさんへ

ぽこりんさんへ。

解説に入る前に，

★　指数法則　(a^m)ⁿ＝a^mn

★　３次式の因数分解
　　a³＋b³＝(a＋b)(a²－ab＋b²)
　　a³－b³＝(a－b)(a²＋ab＋b²)

はダイジョーブかな？
かなりややこしくなるので，実際に紙に書き写しながら，「過程」をたどってみてね。


x⁹＝Ｘ，y⁹＝Ｙ　とおくと，


　x¹⁸－y¹⁸
＝Ｘ²－Ｙ²
＝(Ｘ＋Ｙ)(Ｘ－Ｙ)　もとにもどして，
＝(x⁹＋y⁹)(x⁹－y⁹)

今度は，x³＝Ａ，y³＝Ｂ　とおくと，

＝(Ａ³＋Ｂ³)(Ａ³－Ｂ³)
＝(Ａ＋Ｂ)(Ａ²－ＡＢ＋Ｂ²)(Ａ－Ｂ)(Ａ²＋ＡＢ＋Ｂ²)　もとにもどして，
＝(x³＋y³)(x⁶－x³y³＋y⁶)((x³－y³)(x⁶＋x³y³＋y⁶)

＝(x＋y)(x²－xy＋y²)(x⁶－x³y³＋y⁶)(x－y)(x²＋xy＋y²)(x⁶＋x³y³＋y⁶)


指針

問題の式は，項の数が極端に少なく，「差」の形になっている。
見た瞬間，「バラバラに掛け合わせたとき，打ち消しあって項が消滅する形，すなわち，

○　a²－b²＝(a＋b)(a－b)

○　a³＋b³＝(a＋b)(a²－ab＋b²)
　　a³－b³＝(a－b)(a²＋ab＋b²)

の因数分解が，パッとひらめくように。


そのために，１８乗という「巨大な指数」を公式内で使える形にすることを考える。

ここでは，x⁹＝Ｘ，y⁹＝Ｙ として，「和と差の積」の因数分解に持ち込み，次に「３乗の和・差」を使ったが，先に「３乗の差」の形にすることもできるから，興味があったら別の解き方も研究してみてね。